Внимание! В период с 29.07.22 по 11.08.22 сервис будет находиться в режиме технического обслуживания. В этой связи может наблюдаться нестабильная работа. Приносим извинения за неудобства.
1
Доступно поисковых запросов: 1 из 2
Следующий пробный период начнётся: 17 августа 2022 в 08:27
Снять ограничение

ГОСТ 34100.3.2-2017

Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения. Дополнение 2. Обобщение на случай произвольного числа выходных величин
Недействующий стандарт
Проверено:  09.08.2022

Информация

Название Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения. Дополнение 2. Обобщение на случай произвольного числа выходных величин
Название английское Uncertainty of measurement. Part 3. Guide to the expression of uncertainty in measurement. Supplement 2. Extension to any number of output quantities
Дата актуализации текста 01.01.2021
Дата актуализации описания 01.01.2021
Дата издания 04.07.2018
Дата введения в действие 01.09.2018
Область и условия применения Настоящий стандарт является дополнением к «Руководству по выражению неопределенности измерений» (GUM) (JCGM 100:2008) и распространяется на модели измерения с произвольным числом входных и выходных величин. Входящие в модель измерения величины могут быть действительными и/или комплексными. Рассмотрено два подхода к использованию таких моделей. Первый представляет собой обобщение способа оценивания неопределенности по GUM. Второй - использование метода Монте-Карло для трансформирования распределений. Использование метода Монте-Карло дает возможность получить достоверные результаты в ситуациях, когда условия применимости первого подхода не выполняются. Способ оценивания неопределенности по GUM применим, когда информацию о входных величинах можно представить в виде их оценок (например, полученных измерением), связанных с этими оценками стандартных неопределенностей и, при необходимости, ковариаций. Использование соответствующих формул и процедур позволяет на основе указанной информации получить оценки, а также соответствующие им стандартные неопределенности и ковариации для выходных величин. Эти формулы и процедуры применимы к моделям измерения, для которых выходные величины (a) выражены непосредственно как функции от выходных величин (функции измерения) или (b) могут быть получены решением уравнений, связывающих входные и выходные величины
Опубликован Официальное издание. М.: Стандартинформ, 2018 год
Утверждён в Росстандарт


ГОСТ 34100.3.2-2017/ISO/IEC Guide 98-3/Suppl 2:2011

Группа Т80

     

МЕЖГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ

Часть 3

Руководство по выражению неопределенности измерения

Дополнение 2

Обобщение на случай произвольного числа выходных величин

Uncertainty of measurement. Part 3. Guide to the expression of uncertainty in measurement. Supplement 2. Extension to any number of output quantities



МКС 17.020

Дата введения 2018-09-01

     

Предисловие


Цели, основные принципы и основной порядок проведения работ по межгосударственной стандартизации установлены в ГОСТ 1.0-2015 "Межгосударственная система стандартизации. Основные положения" и ГОСТ 1.2-2015 "Межгосударственная система стандартизации. Стандарты межгосударственные, правила и рекомендации по межгосударственной стандартизации. Правила разработки, принятия, обновления и отмены"

Сведения о стандарте

1 ПОДГОТОВЛЕН Межгосударственным техническим комитетом по стандартизации МТК 125 "Статистические методы в управлении качеством продукции" на основе собственного перевода на русский язык англоязычной версии документа, указанного в пункте 4

2 ВНЕСЕН Федеральным агентством по техническому регулированию и метрологии (Росстандарт)

3 ПРИНЯТ Межгосударственным советом по стандартизации, метрологии и сертификации (протокол от 14 июля 2017 г. N 101-П)

За принятие проголосовали:

Краткое наименование страны по МК (ИСО 3166) 004-97

Код страны по
МК (ИСО 3166) 004-97

Сокращенное наименование национального органа по стандартизации

Беларусь

BY

Госстандарт Республики Беларусь

Казахстан

KZ

Госстандарт Республики Казахстан

Киргизия

KG

Кыргызстандарт

Россия

RU

Росстандарт

4 Приказом Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии от 12 сентября 2017 г. N 1067-ст межгосударственный стандарт ГОСТ 34100.3.2-2017/ISO/IEC Guide 98-3/Suppl 2:2011 введен в действие в качестве национального стандарта Российской Федерации с 1 сентября 2018 г.

5 Настоящий стандарт идентичен международному документу ISO/IEC Guide 98-3/Suppl 2:2011* "Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерения. Дополнение 2. Обобщение на случай произвольного числа выходных величин" ("Uncertainty of measurement - Part 3: Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM:1995) - Supplement 2: Extension to any number of output quantities", IDT).

________________

* Доступ к международным и зарубежным документам, упомянутым в тексте, можно получить, обратившись в Службу поддержки пользователей. - Примечание изготовителя базы данных.


Международный документ разработан Рабочей группой WG 1 Объединенного комитета по руководствам в метрологии (как JCGM 102:2011) и одобрен национальными комитетами международных организаций ISO и IEC.

Официальные экземпляры международного стандарта, на основе которого подготовлен настоящий межгосударственный стандарт, и международных стандартов, на которые даны ссылки, имеются в Федеральном агентстве по техническому регулированию и метрологии.

При применении настоящего стандарта рекомендуется использовать вместо ссылочных международных документов соответствующие межгосударственные стандарты, сведения о которых приведены в дополнительном приложении ДА

6 ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ

7 ПЕРЕИЗДАНИЕ. Июль 2018 г.


Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в ежегодном информационном указателе "Национальные стандарты" (по состоянию на 1 января текущего года), а текст изменений и поправок - в ежемесячном информационном указателе "Национальные стандарты". В случае пересмотра (замены) или отмены настоящего стандарта соответствующее уведомление будет опубликовано в ежемесячном информационном указателе "Национальные стандарты". Соответствующая информация, уведомление и тексты размещаются также в информационной системе общего пользования - на официальном сайте Федерального агентства по техническому регулированию и метрологии в сети Интернет (www.gost.ru)

Введение


В "Руководстве по выражению неопределенности измерений" (GUM) [JCGM 100:2008] рассматриваются, в основном, одномерные модели измерений, включающие в себя единственную скалярную выходную величину. Однако на практике часто встречаются измерительные задачи с двумя и более выходными величинами. Примеры таких задач имеются в GUM для случаев электрических измерений с тремя выходными величинами [JCGM 100:2008 (раздел Н.2 приложения Н)] и температурных измерений с двумя выходными величинами [JCGM 100:2008 (раздел Н.З приложения Н)]. В настоящем стандарте рассматриваются многомерные модели измерения, включающие в себя произвольное число выходных величин. В большинстве случаев выходные величины коррелированны, поскольку зависят от общих входных величин. В настоящем стандарте рассматривается обобщение способа оценивания неопределенности по GUM [JCGM 100:2008 (раздел 5)], позволяющее получить оценки выходных величин, а также стандартные неопределенности и ковариации, соответствующие этим оценкам. Входные и выходные величины модели измерения могут быть действительными или комплексными.

Дополнение 1 к GUM [JCGM 101:2008] рассматривает трансформирование распределений [JCGM 100:2008 (раздел 5)] при заданной модели измерения как основу для выражения неопределенности измерения и реализацию данной процедуры посредством метода Монте-Карло [JCGM 100:2008 (раздел 7)]. Как и в GUM, в нем рассмотрены только модели с единственной скалярной выходной величиной [JCGM 101:2008 (раздел 1)]. Настоящий стандарт рассматривает обобщение метода Монте-Карло с целью получения дискретного представления совместного распределения вероятностей для выходных величин многомерной модели. Такое дискретное представление служит основой для получения оценок выходных величин, их стандартных неопределенностей и ковариации. Использование метода Монте-Карло является альтернативой способу оценивания неопределенности по GUM, особенно в ситуациях, когда последний не способен обеспечить достоверные результаты измерений вследствие того, что (а) линеаризация модели приводит к существенному искажению результатов измерения или (б) распределение вероятностей для выходной величины (или величин) не может быть описано многомерным нормальным распределением.

Настоящий стандарт устанавливает также метод определения области охвата для выходных величин многомерной модели, являющейся аналогом интервала охвата в случае одномерной модели, для заданной вероятности охвата. Рассматриваются области охвата в форме эллипсоидов или прямоугольных параллелепипедов. Применение численных процедур расчета неопределенности измерения с использованием метода Монте-Карло дает возможность приближенного построения областей охвата наименьшего объема.

     1 Область применения


Настоящий стандарт является дополнением к "Руководству по выражению неопределенности измерения" (GUM) (JCGM 100:2008) и распространяется на модели измерения с произвольным числом входных и выходных величин. Входящие в модель измерения величины могут быть действительными и/или комплексными. Рассмотрено два подхода к использованию таких моделей. Первый представляет собой обобщение способа оценивания неопределенности по GUM. Второй - использование метода Монте-Карло для трансформирования распределений. Использование метода Монте-Карло дает возможность получить достоверные результаты в ситуациях, когда условия применимости первого подхода не выполняются.

Способ оценивания неопределенности по GUM применим, когда информацию о входных величинах можно представить в виде их оценок (например, полученных измерением), связанных с этими оценками стандартных неопределенностей и, при необходимости, ковариаций. Использование соответствующих формул и процедур позволяет на основе указанной информации получить оценки, а также соответствующие им стандартные неопределенности и ковариации для выходных величин. Эти формулы и процедуры применимы к моделям измерения, для которых выходные величины (a) выражены непосредственно как функции от выходных величин (функции измерения) или (b) могут быть получены решением уравнений, связывающих входные и выходные величины.

В целях упрощения формулы, применяемые в настоящем стандарте, даны в матричной форме записи. Дополнительным преимуществом такой формы записи является ее приспособленность к реализации на многих языках программирования и в системах, которые поддерживают матричную алгебру.

Способ оценивания неопределенности измерения с применением метода Монте-Карло основывается на (i) присвоении входным величинам модели измерения соответствующих распределений вероятностей [JCGM 101:2008 (раздел 6)], (ii) определении дискретного представления совместного распределения вероятности для выходных величин и (iii) получения из этого дискретного представления оценок выходных величин, их стандартных неопределенностей и ковариаций. Данный подход является обобщением метода Монте-Карло, установленного в JCGM 101:2008 применительно к моделям с единственной скалярной выходной величиной.

Применение вышеуказанных подходов позволяет получить при заданной вероятности охвата область охвата для выходных величин многомерной модели - аналог интервала охвата для одномерной модели с единственной скалярной выходной величиной. Рассматриваемые в настоящем стандарте области охвата имеют формы гиперэллипсоидов (далее - эллипсоиды) и прямоугольных гиперпараллелепипедов (далее - параллелепипеды) в многомерном пространстве выходных величин. В случае применения метода Монте-Карло приведена также процедура приближенного построения области охвата минимального объема.

Применение стандарта иллюстрировано подробными примерами.

Настоящий стандарт служит дополнением к GUM и должен быть использован вместе с ним и с Дополнением 1 к GUM (соответственно, JCGM 100:2008 и JCGM 101:2008). Настоящий стандарт предназначен для тех же пользователей, что и два вышеуказанных документа (см. также JCGM 104).

     2 Нормативные ссылки


В настоящем стандарте использованы нормативные ссылки на следующие документы*:

________________

* Таблицу соответствия национальных стандартов международным см. по ссылке. - Примечание изготовителя базы данных.


JCGM 100:2008, Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM) (Руководство по выражению неопределенности измерения (GUM))

JCGM 101:2008, Evaluation of measurement data - Supplement 1 to the "Guide to the expression of uncertainty in measurement" - Propagation of distributions using a Monte Carlo method (Оценивание данных измерений. Дополнение 1 к "Руководству по выражению неопределенности измерения". Трансформирование распределений с использованием метода Монте-Карло)

JCGM 104:2009, Evaluation of measurement data - An introduction to the "Guide to the expression of uncertainty in measurement" and related documents (Оценивание данных измерений. Введение к "Руководству по выражению неопределенности измерения" и сопутствующим документам)

JCGM 200:2008, International Vocabulary of Metrology - Basic and general concepts and associated terms (VIM) (Международный словарь по метрологии. Основные и общие понятия и связанные с ними термины (VIM))

     3 Термины и определения


В настоящем стандарте применены термины по JCGM 100:2008 и JCGM 200:2008, некоторые из которых (при необходимости, модифицированные) приведены в настоящем разделе, а также следующие термины с соответствующими определениями (обозначения, использованные в настоящем стандарте, приведены в приложении D).

3.1 действительная величина (real quantity): Величина, числовое значение которой является действительным числом.

3.2 комплексная величина (complex quantity): Величина, числовое значение которой является комплексным числом.

Примечание - Комплексная величина может быть представлена двумя действительными величинами в форме алгебраической


или тригонометрической

,


где символ " " обозначает транспонирование;

- мнимая единица, -1;

и - соответственно действительная и мнимая части ;

и - соответственно модуль и аргумент .

3.3 векторная величина (vector quantity): Совокупность величин, упорядоченных в виде элементов матрицы с одним столбцом.

3.4 действительная векторная величина (real vector quantity): Векторная величина, элементами которой являются действительные величины.

Пример - Действительная векторная величина , состоящая из элементов (действительных чисел) , ..., может быть представлена в виде матрицы размерности (матрицы-столбца):

.

3.5 комплексная векторная величина (complex vector quantity): Векторная величина, элементами которой являются комплексные величины.

Пример - Комплексная векторная величина , состоящая из элементов (комплексных чисел) , ..., может быть представлена в виде матрицы размерности (матрицы-столбца):

.

3.6 векторная измеряемая величина (vector measurand): Векторная величина, подлежащая измерению.

Примечание - Данное определение модифицировано по отношению к JCGM 200:2008 (словарная статья 2.3).

3.7 модель (измерения) (measurement model): Математическое соотношение между всеми величинами, используемыми для получения результата измерения.

Примечание 1 - Данное определение модифицировано по отношению к JCGM 200:2008 (словарная статья 2.48).

Примечание 2 - В общем виде модель измерения имеет вид уравнения 0, где - выходная величина модели измерения, являющаяся одновременно измеряемой величиной, значение которой должно быть получено на основе информации о входных величинах , ..., .

Примечание 3 - Если модель измерения содержит две и более выходные величины, то она включает в себя более одного уравнения.

3.8 многомерная модель (измерения) (multivariate measurement model): Модель измерения с произвольным числом выходных величин.

Примечание 1 - В общем случае многомерная модель измерения имеет вид уравнений

0, …, 0,


где , ..., - выходных величин, в совокупности составляющих измеряемую величину, значения которых должны быть получены на основе информации о входных величинах многомерной модели , ..., .

Примечание 2 - Общий вид многомерной модели измерения может быть представлен также в векторной форме

0,


где и - матрицы размерности .

Примечание 3 - В случае одной выходной величины, т.е. 1 (см. примечание 1), модель измерения называют одномерной.

3.9 многомерная функция (измерения) (multivariate measurement function): Функция, определяющая зависимость выходных величин от входных величин в многомерной модели измерения.

Примечание 1 - Данное определение модифицировано по отношению к JCGM 200:2008 (словарная статья 2.49).

Примечание 2 - Если уравнения, входящие в модель измерения 0, могут быть разрешены в явном виде , где - входные величины, а - выходные величины модели измерения, то - многомерная функция измерения. В более общем случае под можно понимать алгоритм, посредством которого устанавливается однозначное соответствие значений выходных величин , ..., значениям входных величин .

Примечание 3 - В случае одной выходной величины, т.е. 1 (см. примечание 2), функцию измерения называют одномерной.

3.10 модель (измерения) с действительными величинами (real measurement model): Модель измерения (в общем случае многомерная), в состав которой входят только действительные величины.

3.11 модель (измерения) с комплексными величинами (complex measurement model): Модель измерения (в общем случае многомерная), в состав которой входят комплексные величины.

3.12 модель многоступенчатого измерения (multistage measurement model): Модель измерения (в общем случае многомерная), состоящая из последовательности подмоделей, связанных между собой таким образом, что выходные величины подмодели одной ступени являются входными величинами подмодели следующей ступени.

Примечание - Зачастую потребность в определении области охвата для выходных величин (на основе их совместного распределения) имеет место только на заключительном этапе измерения.


Пример - Измерение, включающее в себя процедуру калибровки, может рассматриваться как двухступенчатое. Для первой подмодели значениями входных величин являются передаваемые от эталонов и соответствующие им показания средства измерений, а выходными величинами - параметры калибровочной функции (градуировочной характеристики). Эта подмодель определяет способ определения выходных величин по входным величинам, например решением системы уравнений, получаемых при применении метода наименьших квадратов. Входными величинами второй подмодели являются параметры калибровочной функции и новое показание средства измерений, а выходной величиной - измеряемая величина, для получения значения которой было применено средство измерений.

3.13 функция (совместного) распределения (вероятностей) (joint distribution function): Функция, дающая для каждого значения значение вероятности того, что каждый элемент случайной векторной переменной будет меньше или равен .

Примечание - Функцию распределения случайной переменной обозначают , где

.



3.14 плотность (совместного) распределения (вероятностей) (joint probability density function): Неотрицательная функция , удовлетворяющая условию

.

3.15 маргинальная плотность распределения (вероятностей) (marginal probability density function): Плотность распределения элемента случайной векторной переменной с плотностью совместного распределения , которая имеет вид

.


Примечание - Если все элементы , 1, ..., , составляющие случайную переменную , независимы, то .

3.16 математическое ожидание (expectation): Характеристика случайной переменной , являющейся элементом случайной векторной переменной с плотностью совместного распределения , которая имеет вид

.


Примечание 1 - Данное определение модифицировано по отношению к JCGM 101:2008 (словарная статья 3.6).

Примечание 2 - Математическим ожиданием случайной векторной переменной является  - матрица размерности .

3.17 дисперсия (variance): Характеристика случайной переменной , являющейся элементом случайной векторной переменной с плотностью совместного распределения , которая имеет вид

.


Примечание - Данное определение модифицировано по отношению к JCGM 101:2008 (словарная статья 3.7).

3.18 ковариация (covariance): Характеристика двух случайных переменных и , являющихся элементами случайной векторной переменной с плотностью совместного распределения , которая имеет вид

.


где - плотность совместного распределения случайных переменных и .

Примечание 1 - Данное определение модифицировано по отношению к JCGM 101:2008 (словарная статья 3.10).

Примечание 2 - Ковариационной матрицей случайной векторной переменной является симметричная положительно полуопределенная матрица размерности , элементами которой являются ковариации , 1, ..., , 1, ..., . Некоторые операции с использованием налагают более строгое ограничение в виде положительной определенности этой матрицы.

3.19 корреляция (correlation): Характеристика двух случайных переменных и , являющихся элементами случайной векторной переменной с плотностью совместного распределения , которая имеет вид

.


Примечание - Величина имеет размерность единица.

3.20 ковариационная матрица (оценок) (measurement covariance matrix): Связанная с оценкой действительной векторной величины размерности симметричная положительно полуопределенная матрица размерности , на главной диагонали которой расположены квадраты стандартных неопределенностей, соответствующих оценкам элементов векторной величины, а остальные члены матрицы представляют собой ковариации между парами соответствующих оценок элементов векторной величины.

Примечание 1 - Термин и определение модифицированы по отношению к JCGM 101:2008 (словарная статья 3.11).

Примечание 2 - Ковариационная матрица размерности , соответствующая вектору оценок векторной величины , имеет вид:

,


где - дисперсия (квадрат стандартной неопределенности) оценки ;

- ковариация между и . Если элементы и вектора некоррелированны, то 0.

Примечание 3 - В JCGM 101:2008 ковариационная матрица называется матрицей неопределенности.

Примечание 4 - При работе с ковариационными матрицами могут возникать некоторые вычислительные трудности. Например, ковариационная матрица , соответствующая оценке , может не быть положительно определенной (это зависит от того, каким образом была рассчитана матрица ). Как следствие, для такой матрицы не будет существовать разложение Холецкого, часто применяемое в численных методах вычислений (см. [7] и приложение В). Более того, дисперсия для линейной комбинации элементов , которая предположительно должна иметь небольшое положительное значение, может оказаться отрицательной. Для таких ситуаций разработаны методы "коррекции" , после применения которых полученная матрица будет положительно определена, и, соответственно, для нее будет существовать разложение Холецкого, а дисперсия линейной комбинации элементов будет всегда положительна. Один из таких методов приведен в [27], а его принцип состоит в следующем. Выполняют спектральное разложение матрицы , представляя ее в виде

,


где - матрица, столбцы которой являются ортонормированными собственными векторами матрицы , а - диагональная матрица, на главной диагонали которой расположены соответствующие собственные значения . Строят новую диагональную матрицу , заменяя в матрице элементы, меньшие чем , на , где равно произведению наибольшего элемента на единичную ошибку округления компьютера, применяемого при вычислениях. Тогда "корректированная" ковариационная матрица, применяемая для последующих вычислений, будет иметь вид

.


Примечание 5 - Некоторые операции с использованием требуют, чтобы данная матрица была положительно определенной.

3.21 корреляционная матрица (оценок) (correlation matrix): Связанная с оценкой действительной векторной величины размерности симметричная положительно полуопределенная матрица размерности , членами которой являются корреляции между парами соответствующих оценок элементов векторной величины.

Примечание 1 - Корреляционная матрица размерности , соответствующая вектору оценок векторной величины , имеет вид:

,


где 1, а - корреляция между и . Если элементы и вектора некореллированны, то 0.

Примечание 2 - называют также коэффициентом корреляции.

Примечание 3 - Корреляционная матрица и ковариационная матрица (см. 3.20) связаны между собой соотношением

,


где - диагональная матрица размерности с диагональными элементами , ..., . Элементы матрицы могут быть представлены в виде

.


Примечание 4 - Корреляционная матрица будет положительно определенной/сингулярной в том и только в том случае, если соответствующая ей ковариационная матрица будет положительно определенной/сингулярной. Некоторые операции с использованием требуют, чтобы данная матрица была положительно определенной.

Примечание 5 - При представлении численных значений недиагональных элементов корреляционной матрицы часто достаточно округлять их с точностью до трех знаков после запятой. Однако если корреляционная матрица близка к сингулярной, то, чтобы избежать вычислительных сложностей при использовании корреляционной матрицы среди прочих исходных данных в оценивании неопределенности измерения, число сохраняемых десятичных знаков необходимо увеличить. Это число зависит от характера последовательных вычислений, но в качестве ориентировочного значения рекомендуется брать его равным числу десятичных знаков, необходимых для представления наименьшего собственного значения корреляционной матрицы с двумя значимыми десятичными знаками. Так для корреляционной матрицы размерности 2х2 собственные значения и равны соответственно и , где - недиагональный элемент корреляционной матрицы, и, значит, таким наименьшим собственным значением будет . Если заранее известно, что корреляционная матрица является сингулярной, то округление к меньшему по модулю снижает риск того, что после операции округления корреляционная матрица не окажется положительно полуопределенной.

3.22 матрица (коэффициентов) чувствительности (sensitivity matrix): Матрица частных производных первого порядка функций, описывающих модель измерения с действительными величинами, по входным или входным* величинам в точке оценок этих величин.

________________

* Текст документа соответствует оригиналу. - Примечание изготовителя базы данных.     


Примечание - В случае модели с входными и выходными величинами матрицы чувствительности в отношении входных величин и выходных величин имеют размерности соответственно и .

3.23 интервал охвата (coverage interval): Интервал, построенный на основе имеющейся информации и содержащий значение скалярной случайной переменной с заданной вероятностью.

Примечание 1 - Данное определение модифицировано по отношению к JCGM 101:2008 (словарная статья 3.12).

Примечание 2 - Вероятностно симметричный интервал охвата для скалярной величины представляет собой интервал охвата, для которого вероятность того, что значение случайной переменной меньше наименьшего значения (нижней границы) интервала охвата, равна вероятности того, что значение случайной переменной больше наибольшего значения (верхней границы) интервала [см. JCGM 101:2008 (словарная статья 3.15)].

Примечание 3 - Наименьший интервал охвата представляет собой интервал охвата, имеющий наименьшую длину среди всех возможных интервалов охвата для данной случайной переменной с одинаковой вероятностью охвата [см. JCGM 101:2008 (словарная статья 3.16)].

3.24 область охвата (coverage region): Область, определенная на основе имеющейся информации и содержащая значение векторной случайной переменной с заданной вероятностью.

3.25 вероятность охвата (coverage probability): Вероятность того, что значение случайной переменной находится в границах интервала охвата или области охвата.

Примечание 1 - Данное определение модифицировано по отношению к JCGM 101:2008 (словарная статья 3.13).

Примечание 2 - Вероятность охвата иногда называют уровнем доверия [JCGM 100:2008 (6.2.2)].

3.26 наименьшая область охвата (shortest coverage region): Область охвата, имеющая наименьший объем среди всех возможных областей охвата для данной случайной переменной с одинаковой вероятностью охвата.

Примечание - В случае скалярной случайной переменной наименьшая область охвата совпадает с наименьшим интервалом охвата. Для случайной переменной, описываемой вектором в двумерном пространстве, наименьшая область охвата представляет собой поверхность с наименьшей площадью из всех, имеющих ту же вероятность охвата.

3.27 многомерное нормальное распределение (вероятностей) (multivariate Gaussian distribution): Распределение вероятностей векторной случайной переменной размерности такое, что соответствующая плотность совместного распределения имеет вид:

_______________

Многомерное нормальное распределение называют также многомерным распределением Гаусса.

.


Примечание - -математическое ожидание , - ковариационная матрица , которая должна быть положительно определена.

3.28 многомерное -распределение (multivariate t-distribution): Распределение вероятностей векторной случайной переменной размерности такое, что соответствующая плотность совместного распределения с параметрами , и имеет вид:

,


где - гамма-функция, 0.

Примечание 1 - Многомерным -распределением описывается векторная случайная переменная размерности , удовлетворяющая соотношению , где - векторная случайная переменная размерности , имеющая нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и положительно определенной ковариационной матрицей размерности , а - скалярная случайная переменная, имеющая -распределение (распределение хи-квадрат) с степенями свободы.

Примечание 2 - Плотность -распределения нельзя представить в виде произведения плотностей распределения элементов вектора даже в том случае, когда - диагональная матрица. В общем случае между элементами вектора существует статистическая зависимость. Например, при 2, 5 и - единичной матрице размерности 2x2 вероятность того, что 1 составляет 18%, в то время как условная вероятность того, что при 2 значение будет превышать единицу, составляет 26%.

     4 Соглашения и условные обозначения


В настоящем стандарте использованы следующие соглашения и условные обозначения.

4.1 В GUM [JCGM 100:2008 (пункт 4.1.1, примечание 1)] для экономии условных обозначений один и тот же символ (прописная буква) используется для:

(i) физической величины, которая предполагает наличие единственного истинного значения;

(ii) случайной переменной, ассоциированной с этой физической величиной.

Примечание - Случайная переменная выполняет разные роли при оценивании неопределенности по типу А и В. При оценивании неопределенности по типу А случайная переменная представляет собой "... возможный результат наблюдения величины". При оценивании неопределенности по типу В вероятность распределения случайной переменной характеризует имеющиеся знания о возможных значениях этой величины.


Эта двойственность обозначений в большинстве случаев не вызывает неудобств.

В настоящем стандарте (так же, как и в JCGM 101:2008) в случае входных величин, неопределенность которых оценивают по типу А, один и тот же символ (прописная буква) использован для трех понятий, а именно:

a) физическая величина;

b) случайная переменная, для которой получают результаты наблюдений;

c) случайная переменная, распределение вероятности которой ассоциируют с имеющимися знаниями о возможных значениях физической величины.

Два последних понятия, относящиеся к случайной переменной, в GUM (JCGM 100:2008) не разделяются, что может явиться источником недоразумений. Так рассматриваемая в настоящем стандарте и в JCGM 101:2008 процедура оценивания неопределенности с использованием метода Монте-Карло может быть неправильно истолкована как реализация процедуры, изложенной в JCGM 100:2008 (пункт 4.1.4, примечание 1). В действительности же, хотя указанные процедуры схожи в том, что в обеих получают выборку значений выходной величины для данной модели измерения из соответствующего распределения, сами распределения в общем случае будут разными. В JCGM 100:2008 (пункт 4.1.4, примечание 1) это частотное распределение, т.е. случайная переменная интерпретируется в смысле перечисления b), тогда как в методе Монте-Карло это распределение случайной переменной, интерпретируемой в смысле перечисления c). Для большинства измерительных задач подход, предложенный в JCGM 100:2008 (пункт 4.1.4, примечание 1), не рекомендуется (см. [2]).

4.2 Для входных величин модели измерения в настоящем стандарте принято обозначение , ..., или в виде матрицы размерности (символ "" обозначает транспонирование).

4.3 Для выходных величин модели измерения в настоящем стандарте принято обозначение , ..., или в виде матрицы размерности .

4.4 Если могут быть выражены через в явном виде, то модель измерения имеет вид

,                                                         (1)


где - многомерная функция измерения. Другая форма записи для той же модели (см. 3.9) имеет вид

, …, ,


где , ..., являются составляющими .

4.5 Если не выражены в явном виде через , то модель измерения имеет вид

                                                     (2)


или, в другой форме записи (см. 3.8),

0, ..., 0.

4.6 Оценку обозначают в виде - матрицы размерности . Ковариационную матрицу, соответствующую , обозначают в виде - матрицы размерности (см. 3.20).

4.7 Оценку обозначают в виде - матрицы размерности . Ковариационную матрицу, соответствующую , обозначают в виде - матрица размерности .

Примечание - в случае многомерной модели с выходными величинами является аналогом дисперсии для в случае одномерной модели измерения, рассматриваемой в JCGM 100:2008 и JCGM 101:2008. В JCGM 100:2008 обозначается как , где подстрочный индекс "" применительно к стандартной неопределенности обозначает "суммарная". Как и в JCGM 101:2008, в настоящем стандарте использование подстрочного индекса "" в данном контексте рассматривается как излишнее [см. JCGM 101:2008 (пункт 4.10)].

4.8 Если оценки выходных величин предполагается использовать по отдельности, то каждая из этих величин может рассматриваться как выходная в соответствующей одномерной модели измерения. Если же, например, для последующих расчетов эти оценки должны быть использованы совместно, то должны быть приняты во внимание корреляции между ними.

4.9 Стандартную неопределенность, соответствующую , обозначают . Если контекст исключает возможность ошибочного истолкования, то может применяться сокращенная форма записи . Данная форма записи не рекомендуется, если при имеется индекс или иной знак, например или .

4.10 Под можно понимать как "оценки входных величин", так и "оценку входной величины (векторной)". В настоящем стандарте преимущественно используется последнее определение (то же самое справедливо для выходных величин).

4.11 Как указано в 4.2-4.10, величина в общем случае обозначается с помощью прописной буквы, а ее оценка или некоторое фиксированное значение величины (такое, как математическое ожидание) - соответствующей строчной буквой. Данное правило удобно для общего анализа, но зачастую не подходит для обозначения величин в конкретных приложениях из-за устоявшейся практики использования для конкретных физических величин специальных обозначений, например для температуры и для времени. Поэтому в некоторых примерах настоящего стандарта используются иные обозначения: физическая величина обозначается ее общепринятым символом, а ее математическое ожидание или оценка этим же символом с циркумфлексом ("крышкой"). Например, амплитуда переменного тока (пример 1 из 6.2.2) обозначается , а оценка [см. JCGM 101:2008 (пункт 4.8)].

4.12 Настоящий стандарт отступает от обозначений, часто используемых для обозначения плотностей распределения вероятностей и функций распределения. В JCGM 100:2008 одно и то же обозначение использовано как для функции измерения, так и для плотности распределения вероятностей, чем создается некоторая путаница. Поскольку в настоящем стандарте моделям уделено особое внимание, для плотности распределения вероятностей и функции распределения вместо обозначений и использованы соответственно и . Применяемые подстрочные индексы соответствуют случайной переменной, о которой идет речь. Обозначение оставлено для описания функции измерения (в скалярной или векторной форме).

4.13 Плотность распределения может быть поставлена в соответствие как скалярной (), так и векторной () величине. В случае скалярной величины плотность распределения для обозначается как , где - переменная, принимающая возможные значения величины . Здесь рассматривается, как случайная переменная с математическим ожиданием и дисперсией .

4.14 В случае векторных величин плотность распределения для обозначается как , где - переменная, принимающая возможные значения величины . Здесь рассматривается как случайная переменная с ожиданием и ковариационной матрицей .

4.15 Аналогично, в случае скалярных величин () плотность распределения обозначается как , а в случае векторных величин .

4.16 Для обозначения десятичной дроби используется запятая.

_______________

В оригинале на английском языке в данном подразделе указывается на использование в качестве десятичного знака точки вместо запятой.

     5 Основные принципы

5.1 Общие положения

5.1.1 В GUM [JCGM 100:2008 (пункт 4.1)] измерение моделируется функцией, связывающей действительные входные величины , ..., и действительную выходную величину в виде формулы (1), т.е. , где - действительная векторная входная величина. Это одномерная функция измерения для действительных величин (см. 3.9 примечание 3).

5.1.2 На практике не все измерения могут быть смоделированы с помощью функции измерения с одной скалярной выходной величиной. В реальных измерительных задачах могут иметь место:

a) несколько выходных величин , ..., (которые совместно обозначаются действительной векторной выходной величиной ), для которых формула (1) принимает вид ;

b) более общий вид модели измерения в виде формулы (2), т.е. 0.

5.1.3 Кроме того, некоторые или все элементы и, соответственно, элементы могут представлять собой комплексные величины. Если каждую такую комплексную величину представить в виде двух составляющих (действительная и мнимая часть или модуль и аргумент комплексного числа), то, в принципе, без нарушения общности модель измерения может рассматриваться как модель с действительными величинами. Однако в большинстве случаев вид алгоритмов, работающих с комплексными величинами, проще, чем если бы модель включала только действительные величины [14]. Применение моделей измерения с комплексными величинами позволяет записать закон трансформирования неопределенностей в компактном матричном виде (см. 6.4 и приложение А).

5.1.4 В настоящем стандарте модели, указанные в 5.1.2 и 5.1.3, рассматриваются в более общем виде.

5.2 Основные этапы оценивания неопределенности

5.2.1 Основные этапы оценивания неопределенности включают в себя формулировку измерительной задачи, трансформирование распределений и получение окончательного результата:

a) формулировка измерительной задачи включает в себя:

1) задание выходной величины (измеряемой векторной величины);

2) выявление входных величин, составляющих векторную входную величину , от которых зависит ;

3) составление модели измерения, определяющей взаимосвязь с в виде функции измерения [см. формулу (1)] или в более общем виде [см. формулу (2)];

4) приписывание распределений вероятностей (нормального, прямоугольного и т.д.) входным величинам (элементам вектора ) или совместного распределения вероятностей входным величинам, не являющимся независимыми, на основе имеющейся о них информации,

b) трансформирование распределений предусматривает определение плотности совместного распределения выходной величины на основе плотностей распределения входных величин и используемой модели измерения,

c) получение окончательного результата предполагает использование плотности распределения для определения:

1) оценки математического ожидания в виде ;

2) ковариационной матрицы , соответствующей ;

3) области охвата, содержащей с заданной вероятностью (вероятность охвата).

5.2.2 Формулировку измерительной задачи осуществляет метролог. Рекомендации по выбору плотности распределения [стадия 4) этапа а) в 5.2.1] для некоторых общих случаев приведены в JCGM 101:2008 и в 5.3. Этапы трансформирования распределений и получения окончательных результатов [б) и в) в 5.2.1], для которых приведены подробные указания, не требуют дополнительной метрологической информации и могут быть выполнены с любой требуемой вычислительной точностью для поставленной задачи.

Примечание - Как только этап постановки задачи а) в соответствии с 5.2.1 выполнен, тем самым плотность распределения вероятностей для выходной величины формально полностью определена. Однако вычисление математического ожидания, стандартного отклонения и области охвата может потребовать применения численных методов, обладающих некоторой степенью приближения.

5.3 Функции плотности вероятности для входных величин
     


    5.3.1 Общие положения

Руководство по выбору плотностей распределения для входных величин на этапе формулировки измерительной задачи приведено в JCGM 101:2008 (раздел 6) для некоторых общих случаев. Однако единственным многомерным распределением, рассмотренным в JCGM 101:2008, является многомерное нормальное распределение JCGM 101:2008 (пункт 6.4.8). Это распределение приписывают входной величине , если доступная информация об включает в себя только оценку и соответствующую ковариационную матрицу . В 5.3.2 рассматривается еще одно многомерное распределение - -распределение. Его применяют, если единственной доступной информацией о величине является выборка наблюдений (предполагаемых независимыми) векторной величины из многомерного нормального распределения с неизвестным математическим ожиданием и ковариационной матрицей (см. также 6.5.4).

5.3.2 Многомерное -распределение

5.3.2.1 Предположим, что для векторной величины размерностью , имеющей многомерное нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием и ковариационной матрицей размерностью , доступны независимых наблюдений, . Пусть - искомое значение . Тогда, выбирая в качестве априорных распределений для и соответствующие неинформативные распределения и используя теорему Байеса, получим, что совместным распределением для (или распределением, приписываемым ) будет многомерное -распределение с степенями свободы [11], где

, .


Примечание - При наличии соответствующих оснований в качестве априорных распределений могут быть взяты другие распределения, что может привести к другому значению числа степеней свободы для или даже к другому типу распределения для .

5.3.2.2 Плотность распределения, полученного для , имеет вид

,


где - гамма-функция аргумента .

5.3.2.3 Математическим ожиданием и ковариацией будут соответственно

, ,


где определено только для 1 (что соответствует ).

5.3.2.4 Чтобы сформировать случайное выборочное значение из , возьмем случайных выборочных значений , 1, ..., , из стандартного распределения Гаусса N(0, 1) и одно выборочное значение из -распределения с степенями свободы. Тогда

, ,


где - нижняя треугольная матрица размерности в разложении Холецкого [13].

Примечание - Матрица может быть определена, например, как в [13].

5.3.3 Построение многомерных функций плотности распределения

Когда входные величины , ..., коррелированны, то обычно доступной о них информацией является вид плотности распределения для каждой из этих величин (например, для одной - нормальное, для другой - прямоугольное и т.п.), оценки , ..., , используемые в качестве математических ожиданий, стандартные неопределенности , ..., , используемые в качестве стандартных отклонений, и ковариации, соответствующие парам . Построить по маргинальным распределениям , ..., совместную плотность распределения для можно, зная их копулу. Однако вышеуказанной исходной информации может соответствовать множество копул, поэтому вид построенной совместной плотности распределения будет не единственным.

5.4 Трансформирование распределений

5.4.1 На рисунке 1 слева показан пример модели измерения с 3 взаимно независимыми входными величинами и 2 выходными величинами . Функция измерения - . Величинам , 1, 2, 3, приписаны плотности распределения , а характеризуется совместной плотностью распределения . На рисунке 1 справа показан пример, в котором и взаимно зависимы и характеризуются совместной плотностью распределения .

5.4.2 Выходная величина может сама служить основой для получения следующей величины, например, . Тогда будет рассматриваться как входная величина в модели измерения, описываемой, например, функцией измерения и имеющей вид

.


Так, может представлять собой набор эталонов массы, а - суммами некоторых из них.

    
Рисунок 1 - Трансформирование распределений для модели с 3 входными величинами и 2 выходными величинами, когда входные величины , и взаимно независимы (слева) и когда и взаимно зависимы (справа)

5.4.3 Объединение функций измерения и для двух подмоделей позволяет получить зависимость непосредственно от входных величин . Однако в ряде измерительных задач желательно сохранить разбиение на подмодели, если они относятся к функционально разным этапам. Совокупность двух подмоделей представляют собой пример модели многоступенчатого измерения (см. 3.12).

5.4.4 Случай, когда на финальном этапе многоступенчатого измерения с применением многомерных подмоделей имеется единственная выходная скалярная величина, может быть рассмотрен с применением JCGM 101:2008.

5.5 Получение итоговой информации

5.5.1 Оценка у выходной величины рассматривается как математическое ожидание . Ковариационная матрица , соответствующая , - как ковариационная матрица .

5.5.2 Для вероятности охвата область охвата для получают решением уравнения

.


Примечание 1 - Некоторым величинам могут быть поставлены в соответствие случайные переменные с распределениями, для которых математического ожидания и ковариационной матрицы не существует (см., например, 5.3.2). Однако область охвата для существует всегда.

Примечание 2 - В общем случае существует более одной области охвата для заданной вероятности охвата .

5.5.3 Прямого многомерного аналога вероятностно симметричного -ного   100%-ного интервала охвата, рассмотренного в JCGM 101:2008, не существует. Однако существует аналог наименьшего 100%-ного интервала охвата - это 100%-ная наименьшая область охвата.

5.6 Способы трансформирования распределений

5.6.1 Трансформирование распределений осуществляют несколькими способами:

a) аналитическими методами, обеспечивающими получение математического представления плотности распределения для ;

b) применением закона трансформирования неопределенностей, основанного на замене функции измерения ее аппроксимацией рядом Тейлора с членами разложения первого порядка [обобщение подхода, изложенного в JCGM 100:2008 (пункт 5.1.2)];

c) численными методами [см. JCGM 100:2008 (пункт G.1.5)], в том числе с использованием метода Монте-Карло (ММК).

Примечание 1 - Аналитические методы превосходят все прочие с той точки зрения, что они не используют приближений. Однако они применимы только в простых случаях. Такие методы в настоящем стандарте не рассматриваются за исключением примеров, где они используются для сравнения.

Примечание 2 - Метод Монте-Карло в настоящем стандарте используется для получения распределения векторной выходной величины, а не в качестве метода имитационного моделирования. При оценивании неопределенности на этапе трансформирования распределений решаемая задача является детерминированной, поэтому в имитационном моделировании физического случайного процесса нет необходимости.

5.6.2 В законе трансформирования неопределенностей оценка для и соответствующая ковариационная матрица подвергаются преобразованию посредством линеаризованной модели измерения. В настоящем стандарте данная процедура рассматривается для моделей разных типов.

5.6.3 На рисунке 2 слева показан обобщенный закон трансформирования неопределенностей для модели измерения с 3 взаимно независимыми входными величинами и 2 выходными величинами . Оценкой является с соответствующими стандартными неопределенностями , и . Оценкой является с соответствующей ковариационной матрицей . На рисунке 2 справа тот же закон показан для случая, когда и взаимно зависимы и имеют ковариацию оценок и .

    
Рисунок 2 - Обобщенный закон трансформирования неопределенностей для 3 взаимно независимых величин, и и 2 взаимно зависимых выходных величин (слева) и тот же закон, но для взаимно зависимых и (справа)

5.6.4 В методе Монте-Карло совместное распределение вероятностей для , представленное в цифровом виде, трансформируется с помощью модели измерения для того, чтобы получить дискретное представление совместного распределения вероятности для , на основе которого затем получают окончательные результаты измерения.

     6 Способ оценивания неопределенности по GUM

6.1 Общие положения

6.1.1 В настоящем стандарте способ оценивания неопределенности через трансформирование неопределенностей, рассмотренный в JCGM 100:2008 (пункты 6.2 и 6.3) для моделей измерения вида , обобщен на более широкий класс моделей с многими выходными переменными. Хотя непосредственно в JCGM 100:2008 такие модели не рассматриваются, для их изучения могут быть применены те же самые основные принципы трансформирования оценок входных величин и соответствующих им неопределенностей в оценки выходных величин и соответствующих им неопределенностей. Для математического представления указанных процедур вместо сумм величин с подстрочными индексами, как это сделано в JCGM 100:2008, удобнее использовать компактную матрично-векторную форму записи, хорошо приспособленную для современных пакетов программ и языков программирования.

6.1.2 Для применения закона трансформирования неопределенностей используется та же информация о входных величинах, что и для одномерной модели измерения, рассмотренной в JCGM 100:2008:

a) оценка входной величины ;

b) ковариационная матрица , соответствующая , содержащая ковариации , 1, ..., , 1, ..., , соответствующие и .

6.1.3 Описание трансформирования неопределенностей, приведенное в 6.2 и 6.3, распространяется на модели с действительными величинами, включая случаи комплексных величин, представленных парами действительных составляющих. Трансформирование неопределенностей в случае моделей с комплексными величинами рассматривается в 6.4 (см. также 5.1.3).

6.1.4 Способ получения области охвата для векторной выходной величины описан в 6.5.

6.2 Трансформирование неопределенностей для многомерных моделей измерения с явным видом функциональной зависимости
     


    6.2.1 Общие положения

6.2.1.1 Многомерная модель измерения с явным видом функциональной зависимости между выходной величиной и входной величиной имеет вид

, ,


где обозначает многомерную функцию измерения.

Примечание - Аргументами отдельных функций могут быть разные подмножества . При этом каждый элемент должен являться аргументом как минимум одной функции .

6.2.1.2 При заданной оценке для оценка для имеет вид

.

6.2.1.3 Ковариационная матрица размерности , соответствующая , имеет вид

,


где , и определяется по формуле

,                                                (3)


где - матрица чувствительности размерности , определяемая по формуле

,


где все производные берутся в точке [19, страница 29].

6.2.2 Примеры

Пример 1 - Активное и реактивное сопротивления элемента цепи [JCGM 100:2008 (раздел Н.2)]

Активное и реактивное сопротивления элемента цепи определяют путем измерения амплитуды изменяющегося по гармоническому закону напряжения на его клеммах, амплитуды проходящего через элемент переменного тока и фазового сдвига между напряжением и силой тока. Двумерная модель измерения для и , выраженных через , и , имеет вид

, .                   (4)


В обозначениях, принятых в настоящем стандарте, 3, 2, и .

Оценку активного и реактивного сопротивлений получают по формуле (4) в точке - оценке входной величины .

Ковариационную матрицу размерности 2x2, соответствующую , рассчитывают по формуле (3), где - матрица чувствительности размерности 2x3, получаемая вычислением


в точке , а - ковариационная матрица размерности 3х3, соответствующая .

Примечание - В JCGM 100:2008 реактивное сопротивление обозначено . Это обозначение использовано и в настоящем стандарте. Реактивное сопротивление является элементом векторной выходной величины , и его не следует путать с векторной входной величиной .


Пример 2 - Коэффициент отражения, измеряемый микроволновым рефлектометром (подход 1)

Комплексный коэффициент отражения , измеряемый микроволновым рефлектометром, например, таким, что используют для определения повреждения кабельных линий, описывается моделью с комплексными величинами в виде

,                                                        (5)


где - комплексный неисправленный коэффициент отражения, а , и - комплексные коэффициенты, полученные при градуировке (калибровке) рефлектометра [10, 16, 26].

В обозначениях настоящего стандарта, описывая комплексные величины через их действительные и мнимые части, получаем 8, 2, и .

Оценку комплексного коэффициента отражения в виде его действительной и мнимой частей вычисляют по формуле (5), подставляя в нее оценку входной величины .

Ковариационную матрицу размерности 2x2, соответствующую , рассчитывают по формуле (3), где - матрица чувствительности размерности 2x8, получаемая при вычислении производных


в точке , а - ковариационная матрица размерности 8x8, соответствующая .

Пример 3 - Калибровка эталонов массы

Этот пример описывает модель многоступенчатого измерения (см. 3.12, 5.4.2 и 5.4.3).

Набор из эталонов массы со значениями калибруют сличением с эталоном килограмма с использованием компаратора массы, калибровочной гири для определения калибровочной функции компаратора и ряда вспомогательных приборов, таких как термометр, барометр и гигрометр для определения поправок на выталкивающую силу воздуха. Эталон килограмма и гиря имеют массы и , соответственно. Калибровку проводят в соответствии с подходящей методикой измерений посредством достаточного числа сличений между наборами эталонов с получением видимых, т.е. заметных при измерениях в воздухе разностей . Вычисляют соответствующие поправки на выталкивающую силу воздуха . Разности масс в вакууме получают из подмодели , в которой .

Оценку масс обычно получают решением по методу наименьших квадратов переопределенной системы уравнений , где - матрица размерности с элементами, равными плюс единица, минус единица или ноль, в соответствии с тем, какие эталоны массы включены в сличение, с учетом неопределенностей, соответствующих оценке величины . В этом случае формула для определения имеет вид

,                                                    (6)


где ковариационную матрицу размерности , соответствующую , получают по формуле , а - ковариационная матрица размерности , соответствующая . Более подробное описание подмодели, а также процедура получения через - ковариационной матрицы, соответствующей оценке величины , - приведено в [3].

Многомерная модель измерения для этого примера имеет вид

,


где - функция измерения. В принятых обозначениях настоящего стандарта , и .

Примечание - С вычислительной точки зрения для получения оценки предпочтительнее использовать не формулу (6), а алгоритм, основанный на ортогональном разложении матриц (см. [13]).

6.3 Трансформирование неопределенностей для многомерных моделей измерения с неявным видом функциональной зависимости
     


    6.3.1 Общие положения

6.3.1.1 Многомерная модель измерения с неявным видом функциональной зависимости между выходной величиной и входной величиной имеет вид

, .

6.3.1.2 При заданной оценке величины оценку величины получают решением системы уравнений

.                                                      (7)


Примечание - Систему уравнений (7) относительно обычно решают численными методами, например методом Ньютона [12] или одной из его модификаций, задавая начальное значение корня и последовательно приближаясь к решению.

6.3.1.3 Ковариационную матрицу размерности , соответствующую , получают решением системы уравнений

,                                            (8)


где - матрица чувствительности размерности , содержащая частные производные , 1, ..., , 1, ..., , а - матрица чувствительности размерности , содержащая частные производные , 1, ..., , 1, ..., . Производные вычисляются в точках и .

Примечание 1 - Ковариационная матрица в формуле (8) не определена, если матрица является вырожденной (сингулярной).

Примечание 2 - Формулу (8) получают аналогично формуле (3) с использованием правила дифференцирования неявной функции.

6.3.1.4 Из формулы (8) следует, что решение относительно ковариационной матрицы может быть записано в виде

,                                                        (9)


где

                                                     (10)


матрица размерности , сформированная из коэффициентов чувствительности.

6.3.1.5 Процедура расчета матрицы приведена в приложении В. Применение для этих целей непосредственно формул (9) и (10) не рекомендуется вследствие неустойчивости соответствующих им алгоритмов вычислений.

6.3.2 Примеры

Пример 1 - Давления, задаваемые грузопоршневым манометром

Давление , задаваемое грузопоршневым манометром, определяется его уравнением преобразования, имеющим вид

,                                                (11)


где - полная приложенная масса (груза и поршня), и - плотности воздуха и приложенного груза соответственно, - локальное значение ускорения свободного падения, - эффективная площадь манометра при нулевом давлении, - коэффициент деформации поршневой пары манометра, - коэффициент теплового расширения, - отклонение от нормальных условий по температуре (20°С) [17].

Пусть , ..., обозначают давления уравновешивания для приложенных масс, соответственно, , ..., и температурных отклонений , ..., .

В обозначениях, принятых в настоящем стандарте, , , *, .

________________

* Формула соответствует оригиналу. - Примечание изготовителя базы данных.


Модель измерения, определяющая вид зависимости между и , имеет вид

, 1, …, .  (12)


Оценку величины получают решением уравнения вида (12) при заданных оценках , , , , , , и . Однако полученные оценки , 1, ..., , имеют соответствующие ковариации, так как все они зависят от одних и тех же случайных переменных , , , , и .

Ковариационную матрицу размерности , соответствующую , вычисляют по формуле (8), где - матрица чувствительности размерности , содержащая частные производные , 1, ..., , 1, ..., ; - матрица чувствительности размерности , содержащая частные производные , 1, ..., , 1, ..., , (все производные берут в точках и ), а - ковариационная матрица размерности , соответствующая .

Примечание 1 - В данном примере выражение зависимости (или, что то же самое, ) через может быть задано в явном виде как решение квадратного уравнения. Однако числовой алгоритм нахождения корня квадратного уравнения не всегда будет устойчив. Более того, иногда в уравнение преобразования включают дополнительные члены, представляющие собой степени более высоких порядков. В таких случаях получение явной функции измерения не всегда возможно.

Примечание 2 - Рассматриваемая в данном примере модель измерения может быть представлена разными способами. Например, вместо зависимости, описываемой формулой (12), может быть использована модель в виде сравнения с нулем разности между левой и правой частями уравнения (11). От выбора модели зависит эффективность и устойчивость численного решения.

Примечание 3 - Могут быть рассмотрены более полные модели давления, задаваемые грузопоршневым манометром, которые включают, например, поправки, учитывающие эффекты поверхностного натяжения.

Примечание 4 - Функции измерения имеют в качестве своих аргументов не все входные величины. Так, в выражение для -й функции входят только , , , , , , и .


Пример 2 - Коэффициент отражения, измеренный микроволновым рефлектометром (подход 2)

Другой подход к задаче, описанной в примере 2 из 6.2.2, заключается в выражении зависимости между входной величиной и выходной величиной через двумерную модель измерения, имеющую вид

, ,                                      (13)


где и соответственно действительная и мнимая части выражения

.


Преимущество этого подхода состоит в том, что вычисление производных и, следовательно, коэффициентов чувствительности производится более прямым способом.

Оценку   комплексного коэффициента отражения находят в результате подстановки в формулы (13) и численного решения полученных уравнений.

Ковариационную матрицу размерности 2x2, соответствующую , вычисляют по формуле (8), где - матрица чувствительности размерности 2x2, содержащая частные производные , 1, 2, 1, 2; - матрица чувствительности размерности 2x8, содержащая частные производные , 1, 2, 1, ..., 8, (все производные вычисляют в точках и ), а - ковариационная матрица размерности 8x8, соответствующая .

Пример 3 - Калибровка рефлектометра

Калибровку рефлектометра (см. пример 2 из 6.2.2) обычно проводят, измеряя неисправленный коэффициент отражения при применении эталонов с заданными значениями коэффициента отражения . Часто в этих целях используют три эталона, что позволяет получить систему из трех совместный уравнений:

, 1, 2, 3.                               (14)


Разделение выражений в левой части уравнения (14) на действительную и мнимую части приведет к получению шести совместных линейных уравнений, решение которых позволяет найти действительную и мнимую части коэффициентов , и калибровочной функции при заданных значениях действительной и мнимой частей неисправленных коэффициентов отражения и коэффициентов отражения для эталонов.

В обозначениях, принятых в настоящем стандарте, 12, 6, и .

Входные и выходные величины связаны между собой посредством многомерной модели измерения, в которой и , 1, 2, 3, - соответственно действительная и мнимая части левой части уравнения (14).

Оценку калибровочных коэффициентов получают, подставляя оценки для и в уравнения (14) и решая эти уравнения численно.

Закупки не найдены
Свободные
Р
Заблокированные
Р
Роль в компании Пользователь

Для продолжения необходимо войти в систему

После входа Вам также будет доступно:
  • Автоматическая проверка недействующих стандартов в закупке
  • Создание шаблона поиска
  • Добавление закупок в Избранное